1. 研究目的与意义
重要性：由洗澡调水温这一不起眼的小事引申出时间延迟对得到预期效果及最优解的干扰。由于时间延迟的作用，我们现在所调节的“水温”往往要经过一段时间才能显现出结果，倘若结果符合预期，则完成任务，但一般的结果往往不尽如人意，仍然需要继续调节，下一次调节也是一样，矫枉过正和欲速不达是经常出现的情况，在一次次调节和等待中，预期效果似乎怎么也无法达到，面对这样的情况人们往往要崩溃。而淋浴方程就是描述这一现象的方程，它在生活中有着相当广泛的应用，其原因就在于，世界上许多变化的过程都受到延迟的影响，例如气候变化、农业生产、新冠疫情扩散等等。应用淋浴方程分析处理这些问题，将使问题大大简化并且能更好的达到预期效果。
迫切性： 在时间延迟问题广泛存在的前提下，淋浴方程的研究与应用却十分有限。尤其在世界百年未有之大变局的背景下，新冠肺炎疫情与时滞微分方程密切相关，应对疫情的各种举措都需要时间实施才能看到效果。除此之外，病毒的潜伏期也有一段时间，在潜伏期内，病人没有任何症状，所以就存在一个人被感染至被发现患病之间的延迟。因此在建模时，引入这些延迟就会导出了具有延迟和控制影响的SIR方程（一种常用的传播模型），从而可以更好的帮助我们理解和控制疫情。
2. 研究内容和预期目标
研究内容与拟解决的关键问题： 本文研究几类时滞微分方程的动力学行为分析。随着科学技术的日益发展，时滞微分方程在物理、工程、生物和经济学等领域的应用不断拓展，经常被用来解释物质世界中的许多自然现象和规律。特别地，在生态系统、神经网络系统、流行病传播等实际问题的研究中，它的作用显得尤为重要，所以开展对时滞微分方程的理论与应用的研究具有广泛的应用背景。由于这些时滞微分方程既受到当前状态的影响也与之前的行为状态有关，因而考虑时滞因素对系统的长时间动力学分析的影响不仅在数学方法和理论上有意义，而且在物理和实际应用中都有重要的意义。
本文综合应用了时滞微分方程的基本理论、基于微分不等式技巧、波动引理、压缩映射原理和中心流形理论等研究工具，结合正规型方法、第一近似方法和李雅普诺夫第二方法等方法，研究几类具有确定时滞的捕食模型、随机传染病模型和竞争合作模型的动力学行为。研究状态依赖时滞对单种群和多种群模型的影响，可以更好地描述物种生长过程，并以此为依据促进物种多样性的适应性发展，除此之外，受气候因素中温度和降雨变化的影响，传染病出现季节性爆发，所以，研究时间依赖时滞的传染病周期模型，对预测疾病发展趋势和控制病毒传播具有很强的现实指导意义。
写作提纲：第一章 绪论
3. 国内外研究现状
近二十年来，在生态系统、控制系统、机械系统、神经网络系统、光学系统、经济系统等各个学科研究领域，时滞微分动力系统都得到了广泛的应用，研究的深度和广度都在大幅度地快速增加。
在本文研究的生物种群方面，Nicholson曾针对一种叫做Lucilia cuprina的实验种群动态变化模式，做了实验研究工作，观察到成年人口的持久的振荡行为，并在只对成年人口或只对非成年人口限制食物资源的条件下重新展现了这一过程，最终将这一动力学行为归结为密度依赖于用成熟时间表示的时滞因素。
此后，Nisbet和Gurney发展了密度依赖于成熟时间表示的时滞因素的数学模型，并将其应用于Nicholson的实验中。
4. 计划与进度安排
2022年1月，查阅并整理相关文献资料。
2022年2月，熟练掌握matlab并拟订模拟数据。
2022年3月，整理数据并拟订论文写作提纲。
5. 参考文献
[1] 张鑫. 几类时滞微分方程的稳定性和分岔[D].吉林大学,2019.
[2] 刘群. 具有时滞的随机传染病模型动力学分析[D].东北师范大学,2019.
[3] 王艳. 状态和时间依赖时滞的种群及传染病动力学模型研究[D].西南大学,2020.DOI:10.27684/d.cnki.gxndx.2020.000203.
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