1. 研究目的与意义
完整力学系统对称性和不变量的研究可以追溯到上世纪80年代。1996年，赵跃宇和梅凤翔[[1]研究了一般动力学系统的精确不变量和绝热不变量。他们使用李群理论研究了系统的对称性，并利用绝热不变量方法研究了系统的演化。该研究对于研究动力学系统的不变量及其应用具有重要的意义。1999年，梅凤翔[2]介绍了李群和李代数在力学系统中的应用。它阐述了李群和李代数在构造哈密顿力学及其扩展中的重要作用。赵跃宇和梅凤翔[3]介绍了对称性和不变量在力学系统中的应用。他们对对称性及其守恒量的研究进行了系统的总结，详细介绍了对称性与守恒量、对称性与规范理论、对称性在量子力学中的应用等方面的内容，同时还介绍了一些新的研究方向。何光和梅凤翔[4]研究了完整系统在广义力不同表达时的Noether对称性和Lie对称性。Jiang[5]等人研究了受扰动非物质体积的Noether对称性和绝热不变量。该研究提出了一种新的方法，可用于获得受扰动非物质体积的绝热不变量，并在此背景下扩展了Noether定理的应用。
然而，在现实情况中，完整力学系统往往会受到时滞的影响，这种影响可能会导致系统本来的对称性和不变量发生改变。因此在研究完整力学系统的对称性和绝热不变量的基础上，进一步考虑时滞的影响是非常有必要的。2006年，徐鉴和裴利军[6]综述了时滞系统动力学的近期研究进展，介绍了时滞系统动力学的基本概念、模型建立、数学分析等方面的内容，同时对时滞系统动力学的数值计算和控制方法进行了讨论。Jin和Zhang[7]研究了含时滞的哈密顿系统的Noether对称性和守恒量。他们的研究为哈密顿系统的时滞问题提供了一种新的研究方法，并强调了Noether对称性在此背景下的重要性。
非完整力学系统在工程机械、飞机生产等生产实践领域具有非常广泛的应用，因此研究非完整力学系统是有理论价值和实际意义的。1998年，梅凤翔[8]等人研究了非Четаев型非完整系统的Lie对称性和守恒量，并给出了相应的Lie对称群生成子和相似不变量，为非Четаев型非完整系统的控制和优化提供了新的思路。Wang P[9]研究了离散非完整非保守力学系统中的对称性和绝热不变量。该研究为非线性动力学中的离散非完整非保守力学系统提供了新的理论和方法。2000年，梅凤翔[10]研究了包含伺服约束的非完整系统的Lie对称性和守恒量，并提出了一种新的Lie对称算法。该算法对于求解非完整系统的对称性和守恒量具有很好的效果，并得到了广泛应用。2001年，陈向炜和梅凤翔[11]研究了包含伺服约束的非完整系统的对称性摄动与绝热不变量。他们使用李群理论研究了系统的对称性，并利用绝热不变量方法研究了系统的演化，同时还考虑了伺服约束对系统的影响。该研究对于研究包含伺服约束的非完整系统的对称性及其演化具有重要的意义。方建会[12]等人研究了非完整力学系统Noether-Lie对称性及其守恒量．给出了非完整力学系统Noether-Lie对称性的定义和判据，并提出了系统的Noether对称性导致Noether守恒量和广义 Hojman守恒量的定理。 2010年，张毅[13]研究了非完整力学系统的Hamilton对称性。用Hamilton-Jacobi方程和Hamilton理论，得到了非完整系统的Hamilton对称性条件和相应的守恒量，为非完整系统的控制和优化提供了新的思路。董文山和黄宝歆[14]研究了广义非完整力学系统的Lie对称性与Noether守恒量，建立了Lie对称性的确定方程，限制方程等等给出了Noether守恒量。
2. 研究内容和预期目标
1. 综述完整约束力学系统的对称性与守恒量研究的进展，特别是对称性摄动与绝热不变量的相关研究进展；综述时滞约束力学系统对称性与守恒量的研究历史与现状，提出尚存在的问题。
2.研究含时滞的Lagrange系统的对称性摄动，建立该系统的变分原理，得到系统的运动微分方程，研究该系统的Noether对称性，推导出绝热不变量。
3.研究含时滞的Hamilton系统的对称性摄动，建立该系统的变分原理，得到系统的正则方程，研究该系统的Noether对称性，推导出绝热不变量。
3. 研究的方法与步骤
（1）收集并阅读文献，为后续撰写论文打下基础。
（2）建立系统的变分原理并得到系统的微分方程。
（3）引入无限小群变换研究系统的Noether对称性摄动。
4. 参考文献
[1] 赵跃宇, 梅凤翔. 力学系统的对称性与不变量[M]. 北京: 科学出版社, 1999.
[2] 梅凤翔. 李群和李代数对约束力学系统的应用[M]. 北京: 科学出版社, 1999.
[3] 赵跃宇, 梅凤翔. 一般动力学系统的精确不变量和绝热不变量[J]. 力学学报, 1996, 28(2):207-216.
5. 计划与进度安排
（1）第1-3周（2月20日—3月12日）：文献检索，提交开题报告
（2）第4-8周（3月13日—4月16日）： 论文研究，提交外文翻译初稿
（3）第9-12周（4月17日—5月14日）：论文研究，提交论文初稿
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