1. 研究目的与意义
| 近些年来，分数阶微积分以其更加详细准确地描述系统动力学运动方式，更清晰地描述物理性质等优势得到学术界越来越广泛的关注与应用。公认的分数阶微积分的由来最初可追溯至17世纪末的一封信，L’Hospital为Lebniz[1]写道：“在导数 中，当n为时，那么其表达什么含义呢！？ ”。此时距离Lebniz发表首篇微积分论文仅仅11年，可想而知其是难以答复的。直至1812年期间，尽管分数阶微积分得到Euler和Bernoulli等数学界大家关注，但其仍是纯数学的一些议论猜想和假设。 1812年Laplace[2]用积分定义分数导数，1819年，他首次提到“任意阶导数”的概念。同年Laeroix得出“当=时，=”1822年Fourier用其自己的函数积分表示“”直到1832年，法国的一位数学家Liouville[3]才给出分数阶导数的首个合理的定义，同时在Gamma函数的定义下给出公式：“当时，定义的阶导数为“”。自此分数阶微积分进入了系统化理论化的研究阶段，其对于分数阶微积分概念发展是至关重要的。1847年Riemann在Liouville基础上，进一步研究分数阶微积分。1868年Holm-gren在关于应用分数阶微积分求解常微分运动方程的一篇论文中写到：“Liouville的所获取的结论过分受限”，进而寻找不受其变量限制的方法。1890年，Krug利用欧拉积分公式，经过推导演算最终形成首个完整的Riemann-Liouville分数阶微积分的定义。同年许多学术界专家对分数阶微积分进行研究。1974年Oldham B.K.和Spanier J.[4]出版第一本有关分数阶微积分书籍即《分数阶微积分的理论和应用》，分数阶微积分在各大学术以及工程领域得到了广泛应用，自此之后许多学术界优秀学者给出新的定义。1995年，针对传统经典Lagarange力学和Hamilton力学无法适用摩擦力等非保守力，Riewe[5,6]利用分数阶导数对耗散力学系统进行建模并推导共轭动量以及分数阶Hamilton方程。2005年，为了对非保守动力学系统进行建模，El-Nabulsi[7]提出了一种新的分数阶变分方法，为类分数阶变分法（El-Nabulsi分数阶模型）, 此后又提出基于按指数律拓展的分数阶积分和基于按周期律拓展的分数阶积分等类分数阶模型。2014年，张毅和丁金凤[8]基于El-Nabulsi分数阶模型提出并研究了广义Birkhoff原理，进一步解释力学系统的守恒量与对称性之间的关系。2015年，Zhang Y和Long Z X[9]在类分数阶的框架下，进一步研究非完整系统和完整系统的Noether理论。 现如今许多实际系统可用分数阶表示，在实际应用中，为了更精准详实的描述系统真实运动，我们需要综合考虑分数阶导数和时滞[10]的影响，因此研究含时滞的分数阶变分问题成为了必要。在2008年，赵小文和张海[11]等人开始了对分数阶时滞微分方程的研究，利用Riemann-Liouville分数积分和Caputo分数导数的定义及Laplace变换的定义，讨论了其解的存在性和表达式。2013年，张毅和金世欣[12]在时滞背景下，研究非保守系统动力学的Noether对称性。就在今年，陈聚峰[13]团队研究了分数阶Rayleigh系统在时滞影响下的可控性即稳定性分析，一方面说明时滞无法避免，另一方面强调时滞影响并应用于控制设计，改善系统稳定。
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2. 研究内容和预期目标
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